1. 引言
在研究晶體振蕩器和原子鐘的穩(wěn)定性時，人們發(fā)現(xiàn)這些系統(tǒng)的相位噪聲中不僅有白噪聲，而且有閃爍噪聲。使用傳統(tǒng)的統(tǒng)計工具（例如標(biāo)準(zhǔn)差）分析這類噪聲時統(tǒng)計結(jié)果是無法收斂的。為了解決這個問題，David Allan于1966年提出了Allan方差分析，該方法不僅可以準(zhǔn)確識別噪聲類型，還能精確確定噪聲的特性參數(shù)，其最大優(yōu)點在于對各類噪聲的冪律譜項都是收斂的。該方法最初被用于分析晶振或原子鐘的相位和頻率不穩(wěn)定性，比如，晶振的中心頻率均采用Allan方差來表征時域內(nèi)的穩(wěn)定度。由于高端陀螺，氣體傳感等各類物理量測儀器本身也具有晶振的特征，因此該方法隨后被廣泛應(yīng)用于各種物理傳感器的隨機(jī)誤差辨識中。
Allan方差允許你查看一段時間內(nèi)信號中的噪聲。通常，Allan方差的值顯示在對數(shù)——對數(shù)圖上。你之前可能已經(jīng)看過這些圖，并且可能有以下問題：
? Allan方差圖是如何制作的？
? 這些圖如何幫助我在產(chǎn)品之間進(jìn)行選擇？
? 這些圖在我使用產(chǎn)品時有什么作用？
這些是本文即將涵蓋的主題。
Allan方差是量化噪聲的一種常用方法，尤其適合于鑒別測量數(shù)據(jù)中不同類型的噪聲。分析實際測量獲取的“信號”，并將數(shù)據(jù)中的噪聲和系統(tǒng)漂移分開，這是一個復(fù)雜且通常由開發(fā)者自定義的過程。Allan方差圖給出了在給定理想條件下，經(jīng)過噪聲校正的系統(tǒng)可以達(dá)到什么樣的表現(xiàn)，是衡量系統(tǒng)穩(wěn)定性的指標(biāo)。
下文中，我們首先將從整體上介紹傳感器噪聲的基礎(chǔ)知識。有了噪聲知識，我們將討論Allan方差圖的含義，幫助你在購買產(chǎn)品中使用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行決策以及在使用產(chǎn)品時校正傳感器的噪聲。
2.信號，噪聲和數(shù)據(jù)
讓我們以一個例子開始：有一個傳感器——可以是加速度計，溫度傳感器或光傳感器等——每秒可以進(jìn)行多次測量，測量頻率即為采樣率。測量獲取的數(shù)據(jù)流是我們的“信號”。信號中的每個數(shù)據(jù)點都是在實際環(huán)境中的測量值，噪聲，干擾，漂移，偏置等的組合。如果我們僅通過觀察信號中的一個數(shù)據(jù)點，而不知道其他點或者對傳感器其他信息有任何了解，我們絕對無法知道這個信號的哪一部分是噪聲，哪一部分是實際信號。
2.1.噪聲
噪聲具有一個普遍的特征：在足夠長的時間內(nèi)，噪聲的平均趨近于零。
這只是一個純粹的定義，但將對我們的分析很有幫助。如果這個定義不正確，則信號中不趨近于零的部分就不是“噪聲”，而是其他的東西。可能是某種干擾，可能是傳感器的偏移量，甚至，可能就是你要測量的數(shù)據(jù)！信號中不是噪聲又不是實際數(shù)據(jù)的部分通常稱為“錯誤”。在現(xiàn)實世界中的數(shù)據(jù)流（即信號）中，所有這些因素和其他因素共同構(gòu)成了傳感器輸出的值。以加速度計為示例：
如果一個加速度計的噪聲水平為10mg（注意這里g是重力加速度）。假設(shè)我們從加速度計上讀取了“ 1.052g”，得到了一個數(shù)據(jù)點。讓我們進(jìn)一步假設(shè)（并且非常不正確），數(shù)據(jù)組成部分是：
? 真實數(shù)據(jù)
? 噪聲
即使這樣，我們也無法使用單個數(shù)據(jù)點來很好地校正噪聲。首先，噪聲水平通常是“最大”噪聲。這意味著噪聲將偏離實際數(shù)據(jù)值約0.01g，但其幅度也可能更小。即使我們假設(shè)噪聲始終為0.01g，該特定數(shù)據(jù)點上的噪聲是疊加還是降低？換句話說，我們的測量值實際上是1.062還是1.042？沒有辦法知道。
為此我們需要更多的數(shù)據(jù)。讓我們繼續(xù)看下一個數(shù)據(jù)點，假設(shè)是1.059，下下一個是1.061，然后是1.057。我們似乎正在接近答案，這也印證了為什么平均噪聲為零的定義實際上符合你的直覺。你現(xiàn)在可能會說：只要獲得足夠的數(shù)據(jù)并將其平均，并且如果加速度計沒有移動，那么該平均值將非常非常接近正確的答案。這就是我們可以使用的噪聲方法：隨時間平均，最終根據(jù)噪聲的本質(zhì)將噪聲平均為零，真正的信號就會“水落石出”。請留意“平均時間”的概念，后面我們會用得到。
測量噪聲
那么，我們?nèi)绾潍@得非常非常準(zhǔn)確的測量結(jié)果呢？我們需要獲得很多的數(shù)據(jù)點。這些數(shù)據(jù)點僅用于一次平均。就加速度計而言，它不應(yīng)該移動。為此我們將加速度計固定在穩(wěn)定的桌子上，然后開始記錄它輸出的數(shù)據(jù)。這種設(shè)置可以使我們從地球引力場中獲得幾乎恒定的加速度（可以想像一些等效的設(shè)置，如溫度傳感器周邊的溫度恒定，光傳感器的光通量恒定，盡管重力相對容易保持恒定）。經(jīng)過很多這樣的假設(shè)——我們獲得大約是250萬個數(shù)據(jù)——如果繪制一個沒有沿著重力方向的軸（例如通常是X或Y），則數(shù)據(jù)可能如下所示：
如果將所有這些值取平均值，我們將得到沿藍(lán)線的值。它非常接近零，為-0.008。這里可能涉及到準(zhǔn)確性的問題（我們將在今后的文章中介紹有關(guān)準(zhǔn)確性Accuracy和分辨率Resolution的定義和應(yīng)用）。但是由于該傳感器已經(jīng)過校準(zhǔn)，因此上述偏差的原因更可能是由于加速度計相對于地球重力矢量略有傾斜引起的，這會導(dǎo)致加速度在X或Y方向上存在一定的分量。
該傳感器的噪聲水平為10 mg，實際上你可以看到幾乎所有的偏差都包含在藍(lán)色平均線兩側(cè)的0.01g以內(nèi)。
但是，你可能會想：這種分析僅在我們不想測量任何變化的數(shù)據(jù)時才會有效。因為你買加速度計可不只是為了測重力，你實際上希望它能夠移動——在真實應(yīng)用環(huán)境中測量加速度隨時間的變化。為此，我們需要表征噪聲隨時間變化的情況，因此需要找出能夠校正噪聲之前，要采集數(shù)據(jù)的時間長度。
3.Allan方差
表征任何傳感器性能的一種方法是測量該傳感器隨時間變化的程度。訣竅就是——你可以測量出方差變化的程度。下面我們?nèi)匀挥蒙厦娴臄?shù)據(jù)舉例子，有了這些數(shù)據(jù)，我們可以找到測量噪聲實際效果的方法，以及噪聲隨測量時間長短的變化特點。
對于許多傳感器而言，存在一段理想的時間長度，在該時間長度上取平均值（或其他統(tǒng)計參數(shù)）可以獲得噪聲的最小值（至少對于某些類型的噪聲）。以上面的250萬個點為例，我們可以問一個問題：要以較高的信噪比達(dá)到-0.008的期望值，我們需要至少平均多少個點？這是一個很好的問題，但不幸的是，對于所獲取的數(shù)據(jù)集，直到獲得很多數(shù)據(jù)點之后，我們才知道-0.008這個“答案”。
所以我們使用另一種測量噪聲的方法，即方差。簡而言之，這個量表征數(shù)據(jù)集離散的程度。一組數(shù)字（1、2、10）的方差小于一組（1、2、100）。要了解為何方差對我們有幫助，請想象將250萬個數(shù)據(jù)點分成兩半。平均前一半數(shù)據(jù)，你會得到什么值？大概是-0.008?，F(xiàn)在平均后一半數(shù)據(jù)。又得到什么值？同樣的，可能為-0.008。因此，上半部平均值（-0.008）和下半部平均值（-0.008）之間的差異實際上為零。
現(xiàn)在，我們將每個單獨(dú)的數(shù)據(jù)點視為一個“組”，而不是由125萬個點組成的兩組。也就是說，我們現(xiàn)在有250萬個“組”。在這種情況下，我們做同樣的事情——“平均”每個組（在這種情況下，每“組”只有一個數(shù)據(jù)），然后檢查所有組平均值之間的方差。當(dāng)將每個單獨(dú)的點視為一個“組”時，組平均值的方差就等于傳感器在以每個點的平均時間為間隔時的噪聲。以上述傳感器為例，兩側(cè)的平均值大約為0.01g（總計0.02g）。
因此，在這兩種極端之間（125萬個點組和單點組），存在“信噪比最強(qiáng)點或最高靈敏度點”。這個平衡點是我們需要收集的最少的“組”點數(shù)，可以最大程度地減少組平均值的方差（即，使每個組真正非常接近-0.008），但又不會太小，以至于組平均值像每個數(shù)據(jù)點為一組那樣劇烈地波動。尋找Allan方差最小值，就是找到這個平衡點。
為此，我們不僅要有一個或125萬個小組，而且要嘗試所有組的規(guī)模。因此，我們可以遍歷整個數(shù)據(jù)集，并將其分成由2個數(shù)據(jù)點構(gòu)成的組，然后分別平均。然后以3，4，5 .... 10 .... 100 .... 1000等個數(shù)據(jù)點為組，分別進(jìn)行平均。最后我們找到所有大小相等的數(shù)據(jù)組之間的方差。隨著數(shù)據(jù)組變得越來越長，不同數(shù)據(jù)組之間的平均值會越來越接近，因為每個數(shù)據(jù)組的平均值會越來越接近“真實”的平均值。
3.1.計算
幸運(yùn)的是，網(wǎng)上已經(jīng)有很多程序可以讓我們做Allan方差計算。其文檔和資源可在線獲得。我們利用這些程序可得到如下圖：
該圖顯示了我們期望的結(jié)果（即，確實存在一個非常明顯的點，對足夠大的一組數(shù)據(jù)求平均會使噪聲水平比數(shù)據(jù)數(shù)量較少的組?。?。但是，這個圖并不是非常有用，有兩個原因：
? 這種變化過于劇烈，以至于很難說出理想的組數(shù)是多少
? 方差的單位是傳感器值的平方，而“加速度平方”不是一個很直觀的單位
還有一個奇怪的事實是，方差在下降之后會再次上升，我們稍后再來討論這點。
3.2.對數(shù)——對數(shù)圖
不過，我們可以通過將數(shù)據(jù)放在對數(shù)——對數(shù)圖上來解決第一個問題。下降之所以如此急劇，是因為方差在較短的橫軸區(qū)間內(nèi)下降了幾個數(shù)量級。因此，對數(shù)——對數(shù)圖將給較小的數(shù)字更大的權(quán)重，并加重變化。我們可以使用Origin或者M(jìn)atlab將上述數(shù)據(jù)重新作圖，將橫軸和縱軸都更改成對數(shù)坐標(biāo)，從而得到如下圖：
現(xiàn)在，數(shù)量級的大幅度下降顯示為一條優(yōu)美的傾斜線，其最小值在100秒附近清晰可見（在對數(shù)——對數(shù)圖上介于10到1000之間）。以每秒50個數(shù)據(jù)點的速度進(jìn)行采樣，這意味著當(dāng)數(shù)組的數(shù)據(jù)個數(shù)為50 x 100 = 5,000個時，所獲得的方差降至最小。
在第一個線性圖中方差的平方增加對應(yīng)對數(shù)——對數(shù)圖中的顯著轉(zhuǎn)折。即使在線性圖上，也可以清楚看到與初始的噪聲降低相比，噪聲也只是略有上升的趨勢。
4.Allan偏差
對數(shù)——對數(shù)圖的使用僅僅解決了“計算”部分中描述的一個問題。另一個問題——方差的單位為“平方”，這使我們無法解釋對數(shù)——對數(shù)圖曲線上對應(yīng)的Y值的概念。
為了解決這個問題，我們可以使用Allan偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差或標(biāo)準(zhǔn)差）而不是Allan方差。偏差是方差的平方根，因此要從Allan方差中得出Allan偏差，只需取上面計算出的每個方差的平方根即可。這會將數(shù)據(jù)單位改回我們可以直觀理解的單位（即傳感器實際記錄的單位——加速度單位）。
但是，標(biāo)準(zhǔn)偏差的含義比方差要更難理解一點。方差是數(shù)據(jù)集合的整體分布統(tǒng)計，而標(biāo)準(zhǔn)差只是數(shù)據(jù)中與平均值最接近的68％的數(shù)據(jù)的分布統(tǒng)計。比如，如果平均值是0，而標(biāo)準(zhǔn)偏差是正負(fù)5，則該數(shù)據(jù)集的大約32％大于5且小于-5。因此，方差告訴你最高和最低范圍，標(biāo)準(zhǔn)差僅告訴你大部分?jǐn)?shù)據(jù)位于何處。
也就是說，偏差圖更一目了然。
我們可以通過計算Allan方差的平方根，然后得到如下的Allan偏差圖：
5.如何使用Allan偏差圖
使用Allan偏差圖比較產(chǎn)品或?qū)W習(xí)如何最佳使用傳感器時，可以將圖中的曲線分為四個部分。當(dāng)然網(wǎng)上還有其他有關(guān)如何解釋這些圖的教程。為了將不同類型噪聲的影響分開，其中一些教程將Allan偏差圖分成了更多部分。對于此處的實際討論，我們省去了有關(guān)不同類型噪聲的許多細(xì)節(jié)。常見的Allan偏差圖的四個部分如下：
我們將在下面更深入地討論所有這四個部分：
A點——對應(yīng)的Y值是任何一次測量的噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者以單個數(shù)據(jù)點間隔為平均時間的噪聲。
B段——表示隨著平均時間的增長，平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差逐漸減小，可用于校正快速波動的噪聲。
C點——最終，通過延長平均時間，噪聲可以達(dá)到一個最小值。該最小值具有用戶感興趣的最優(yōu)平均時間X和最小系統(tǒng)噪聲（或信噪比為1時的靈敏度）Y值，C點也就是前文提到的“最大信噪比”所需的平均時間。
D段——在較長時間范圍內(nèi)的慢變噪聲或系統(tǒng)漂移占主導(dǎo)，開始影響較大組的平均數(shù)據(jù)。
5.1. A點——單點噪聲
Allan偏差圖的起點是單個點的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差。因為在圖的開始處， “組”的大小為1。因此，組與組之間變化的標(biāo)準(zhǔn)偏差將等于各個點的標(biāo)準(zhǔn)偏差。因此，通過對比所計算數(shù)據(jù)集的起始Allan偏差和各個點的標(biāo)準(zhǔn)偏差，可以初步確認(rèn)Allan偏差計算的準(zhǔn)確性。
請注意，對于偏差（漂移）不大于白噪聲的情況，上述描述是正確的。如果偏差隨時間的漂移比短時間內(nèi)白噪聲產(chǎn)生的漂移大，則數(shù)據(jù)集的標(biāo)準(zhǔn)偏差將是測量偏差，而不是白噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差。
用于選擇產(chǎn)品
在比較產(chǎn)品時，A點數(shù)值對需要盡可能少的平均數(shù)據(jù)的應(yīng)用場景有很大價值。即，用戶需要盡可能多的使用每個數(shù)據(jù)點，或者需要盡可能多的保留數(shù)據(jù)中的高頻分量。對于大多數(shù)應(yīng)用，如“噪聲”部分所述，至少進(jìn)行一些平均是非常有用的。
實際應(yīng)用
使用傳感器時，此值在嘗試評估單個測量點的噪聲時很有用。大約68％的測量結(jié)果將產(chǎn)生0.0025g的噪聲誤差，而32％的測量結(jié)果將具有更大的噪聲誤差。正如“噪聲”部分中所述，要確定單個測量數(shù)據(jù)點的噪聲是大是小，是正是負(fù)，實際上是不可能的。因此，將A點數(shù)值與你期望獲得的測量值幅度進(jìn)行比較，以及噪聲誤差是否會成為測量數(shù)據(jù)的重要分量，會對實際應(yīng)用非常有幫助。
5.2. B段——通過平均來改善精度
隨著你可以收集越來越多的數(shù)據(jù)，并將它們?nèi)∑骄憧梢詫?shù)據(jù)進(jìn)行精度更高的提取。
用于選擇產(chǎn)品
要使用從A點的最大值到C點的最小值的B段區(qū)間，你需要考慮自己的應(yīng)用場景。你可以合理采樣和平均的時長是多少？你是否想要每0.1秒獲取讀數(shù)或每1秒一次獲取讀數(shù)？如果你的應(yīng)用試圖在Allan偏差圖中測量相對于噪聲非常小的信號，則需要在可平均的時間范圍內(nèi)，比較不同產(chǎn)品的Allan偏差圖。
實際應(yīng)用
在可允許的采樣運(yùn)算時間內(nèi)，通過調(diào)整平均時間的長度，抑制每單位時間的降噪量，優(yōu)化系統(tǒng)的信噪比，同時保證系統(tǒng)足夠的響應(yīng)速度，可以幫助你更精準(zhǔn)的微調(diào)應(yīng)用場景中的數(shù)據(jù)采樣和平均時間間隔。
例如，在很多四軸飛行器的應(yīng)用中，通過適當(dāng)平滑加速度計的輸出數(shù)據(jù)，以抑制其跳躍性的噪聲，可以幫助你更精準(zhǔn)地估計GPS讀數(shù)之間的飛行器位置。對于加速度數(shù)值遠(yuǎn)大于噪聲的情況而言，平均可以稍微平滑這些噪聲，但不會影響加速度計輸出結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此，只要你感興趣數(shù)據(jù)的價值足夠大，且平均時間足夠長而不會受到太大影響，則可以收集到更多的數(shù)據(jù)樣本來更有效地過濾噪聲。這種偏差建模——通過延長平均時間法——允許你沿著B段斜率向下移至一個系統(tǒng)可接受的響應(yīng)平均時間的最小值。
但是，對于測量比采樣頻率更快的振動信號，這種方法將不再起作用。
5.3. C點——最小偏差（最優(yōu)靈敏度）
理論上，此最小偏差是傳感器的最佳精度。實際應(yīng)用中，即使要達(dá)到這一水平也可能是很困難的。為此，你必須以約等于最小C點的平均時間處理數(shù)據(jù)。這需要非常特定的應(yīng)用程序和采樣策略。
對于例子中的加速度傳感器，最佳靈敏度大約是每100秒平均一次，每秒50個采樣，也即采集5000個點平均一次獲得的。請記住，最佳靈敏度只是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差，因此，即使在C點的輸出，也將有大約三分之一的噪聲大于圖中顯示的最小值。
用于選擇產(chǎn)品
Allan偏差圖上的最優(yōu)靈敏度值，是比較不同傳感器最常用的特征點。該數(shù)據(jù)點的用途是向你顯示靈敏度最佳的情況。根據(jù)Allan偏差圖，你可以選擇采取不同的采樣時間，并且在所需的靈敏度上有多少回旋余地（平均會大大提升傳感器的靈敏度），但請記住，你的數(shù)據(jù)仍會在C點最小值附近產(chǎn)生偏差。事實上，在選擇產(chǎn)品時，圖形上的所有點都具有價值的。
5.4. D段——低頻噪聲
當(dāng)你在此低頻噪聲中僅取一小部分值（例如隨機(jī)噪聲）時，數(shù)值變化會非常小。在越來越大的數(shù)據(jù)組中，隨機(jī)噪聲可能會很大。該噪聲通常是多個因素的疊加，包括溫度的影響，振動和隨機(jī)游走等。
像其他噪聲一樣，真正隨機(jī)噪聲最終將平均為零。但是，你將必須收集非常非常長時間的數(shù)據(jù)。足夠長的時間可以保證你的數(shù)據(jù)捕獲任何合理的重復(fù)頻率的隨機(jī)噪聲。但是，想象一下——假設(shè)你發(fā)現(xiàn)新的最小噪聲點超過了數(shù)萬秒的平均時間——你是否真的想對所有這些數(shù)據(jù)進(jìn)行平均以確定最小偏差？這樣做，你會錯過所有來自傳感器的真實，快速的數(shù)據(jù)，因為你一直都在等待采集足夠的數(shù)據(jù)做長期平均值。
用于選擇產(chǎn)品
即使要在曲線的較早一點進(jìn)行平均，該圖的這一部分仍然非常重要。這是由于這樣的事實，無論平均周期如何，你仍然會經(jīng)歷隨機(jī)或溫度依賴形式的低頻噪聲。想象一下，一組1000個數(shù)據(jù)點的中值在整個過程中緩慢漂移。如果將每十個數(shù)據(jù)點平均一次，則可能會減輕大部分白噪聲，但數(shù)據(jù)仍將漂移至以前相同的量。
在Allan偏差上做一個與X軸平行的直線，該線與Allan偏差曲線交于e和f兩點，如下圖所示。e點和f點雖然平均時間不同，但是檢測精度其實是相同的。如果這個Allan偏差曲線最右端對應(yīng)的Y值高于最左端第一個點的Y值，說明到達(dá)此點時間后，系統(tǒng)已經(jīng)漂移超過原始未平均的靈敏度。
如果你對傳感器和所收集的數(shù)據(jù)有非常清楚的了解，則可以使用軟件算法校正和處理低頻噪聲，但這是很困難的，只能根據(jù)具體情況進(jìn)行。如果這種操作在你的應(yīng)用中不可行，則選擇低頻噪聲曲線較淺的傳感器將很有價值。當(dāng)然，你會發(fā)現(xiàn)傳感器的低頻噪聲與傳感器的成本直接相關(guān)。
6.溫度的影響
當(dāng)溫度變化時，電子系統(tǒng)會經(jīng)歷一定程度的誤差變化（溫飄），最終反映在噪聲特性中。當(dāng)查看加速計數(shù)據(jù)隨時間變化時，這些溫度影響并不是立即顯而易見的，例如“測量噪聲”部分中的圖形。
但是溫漂效應(yīng)和其他較小的難以控制的影響使慣性導(dǎo)航變得極為困難。如果在室溫下記錄加速度計的Allan偏差圖，則低頻噪聲特性（曲線上的D段）可能不會非常陡峭。但是，如果你使用相同的加速度計并將其置于動態(tài)溫度環(huán)境中，則會發(fā)現(xiàn)低頻噪聲曲線將變得更加陡峭或難以預(yù)測。通過比較這兩個Allan偏差圖，并使所有其他變量保持恒定，你可以大致確定溫度變化對設(shè)備的影響有多大。
參考文獻(xiàn)：
1、Allan, D. Statistics of Atomic Frequency Standards, pages 221–230. Proceedings of the IEEE, Vol. 54, No 2, February 1966.
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